Можно представить себе сверхмикроскопический треугольник, состоящий из одной точки. Три точки также образуют треугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Шесть точек образуют уже больший треугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а десять точек - треугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.

Можно записать треугольные числа в ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 и так далее. Каждое следующее треугольное число образует треугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше.

Ряд треугольных чисел образует определенную зависимость. Первое число равно 1, следующее равно 3, то есть 1 + 2, затем идет 6, то есть 1 + 2 + 3, затем 10, то есть 1 + 2 + 3 + 4, затем 15, то есть 1+ 2 + 3 + 4 + 5, и так далее.

Четыре точки также образуют четырехугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Девять точек образуют уже больший четырехугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а шестнадцать точек - четырехугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.

Можно записать четырехугольные числа в ряд: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Каждое следующее четырехугольное число образует четырехугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше. Начнём с 1. Здесь нет вариантов, единица - это просто единица. Но уже 4 = 1 + 3, далее 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7 и так далее.

Если мы построим несколько пятиугольников таким же образом, как строили треугольники и четырехугольники, то получим числовой ряд вида 1, 5, 12, 22, З5, 51, 70 и так далее. Каждое следующее пентагональное (от греч. pentagonos (мат.) - пятиугольный) число образует пятиугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше.

Это ряд чисел, которые получают сложением чисел, отличающихся друг от друга на три. Первый член ряда - это единица. Второй - 5, то есть 1 + (1 + З) = 1 + 4. Третий - 12, то есть 1 + 4 + (4 + З) = 1 + 4 + 7, четвертый - 22, то есть 1 + 4 + 7 + 10, и так далее.

«Айзек Азимов / В мире чисел. От арифметики до высшей математики. Глава 6. ФОРМА ЧИСЕЛ / Пер. с англ. О.В. Замятиной. – М.: ЗАО Центрполиграф, 2004.»

P.S. Ай-я-яй, товарищ banzay, Ваша группировка 24-02-2005 ответила на подобный вопрос верно и почти в полном составе http://intellvic.spb.ru/?a=stat&c=vic&p=9 (24-02-2005 87 beatify)

В вопросе нет указания на то, чтобы точки предыдущих фигур включались в число точек последующих фигур. Формулировка проста, как "Дано" у задачи:  

Общее число точек - Число точек на каждой стороне  

1 - 1  

3 - 2  

4 - 2  

6 - 3  

9 - 3  

70 - ? (и плюс вопрос про форму фигуры)  

Больше из вопроса не вытекает никаких выводов. Задача на вид проста, но нерешаема. Допущение о точках, лежащих внутри фигуры, неверно, так как не соответствует условию вопроса о фигуре из 9 точек с 3 точками на каждой стороне. У четырехугольника с двумя точками на стороне нет точки внутри, а у четырехугольника с тремя точками на стороне она появляется. Нелогично.

По-моему, очень даже логично. В 4уг. с 2 точками на сторонах внутрь вставить точку нельзя. А у которого три точки на сторонах - внутрь влезает еще одна точка.

Диспут на тему: треугольник из "окружностей" или из "кругов" (в смысле должны ли точки быть внутри или нет).  

Вообще-то вопросы должны быть самодостаточны. И если в вопросе двухлетней давности (по ссылке, указанной ув. beatify) говорится о древнегреческих математиках и придуманных ими фигурах, то в обсуждаемом случае таких (косвенных) намеков нет, отсюда и возникшее недоумение (ИМХО).  

P.S. Почему-то вспомнился квадрат Малевича (весь черный, а не только рамка).

To darky 7440  

Но эта внутренняя точка не на стороне большей фигуры, ведь так ? Или на стороне ? Но тогда на этой "внутренней" стороне большей фигуры точек меньше, чем нужно, разве нет ?

Всего в получившейся фигуре было 70 точек. Из них по 7 точек на каждой из пяти сторон. 35 точек на сторонах. 35 - внутри. Ничего не понимаю, где вы взяли условие, что точки не могут быть внутри фигуры? *don't*

К админу: не пойму, что со смайликами. Когда пытаюсь выделить текст из того окошка - он сразу его закрывает после выделения (копировать не успеваю). То есть страничка закрывается при клике на нее.

to inga  

Я уже задавала аналогичный вопрос 24.02.2005 (ссылка), который начинался с пояснения «Древнегреческие математики занимались в основном геометрией и много времени проводили, подсчитывая количество точек, расположенных на плоскости в форме различных геометрических фигур, и изобрели геометрические фигуры, моделирующие числовые ряды», но Вы, к сожалению, тогда ответили неверно. Поэтому, извините, пожалуйста, уважаемая inga, думается, что не в точках и сторонах дело.  

to piters  

Уважаемый, piters, первый вариант этого вопроса у меня, как раз и начинался «Древнегреческие математики, подсчитывая количество точек, расположенных на плоскости в форме различных геометрических фигур, пришли к выводу…», но уважаемый админ вернул мне его, как очень лёгкий, потому что ответ в первых строках Яндекса.  

Извините, но я не могу предоставить иллюстрации из книги Айзека Азимова, у меня не работает сканер, но полагаю, что Материал из Википедии убедит Вас.  

ссылка  

Хотя мне кажется очень сомнительным оспаривать мастерское изложение Азимовым, учёного с мировым именем, данного материала.  

to beatify  

Насчет Вашей корректировеи вопроса после "рекламации" админа хочу привести утрированный вариант:  

Вопрос - Сколько будет 2х2?  

После возврата админом вопроса Вы решаете усложнить задачу, убрав знак умножения.  

В Википедии (по Вашей ссылке) показаны красивые фигуры. Ну и что? В чем они должны меня убедить? Что точки можно так расположить на плоскости и только.  

Интересно, сколько было бы ответивших на обсуждаемый вопроос, если бы Вы не задавали аналогичный (так как задавали) два года назад? Один, два? Или те же три?  

beatify, ну и в чем же дело, если не в точках и сторонах? Скажите, мне интересно. Вижу, вы любите ссылаться на свои старые высказывания, свои старые вопросы. Впрочем, это ваше личное дело, просто несколько неприятно это постоянное "тыкание носом".  

Что касается вопроса, в его формулировке такое завихрение, что даже никакого удовольствия обсуждать. А так-то правда, конечно, на стороне Азимова.

to piters, inga  

Вместо того чтобы изливаться желчью, нужно просто включить мозги и вникнуть, одного грамотного составления запросов в поисковики недостаточно. Ваше негодование в первую очередь направлено против оригинального сочетания научной достоверности и яркой образности в мастерском изложении основ математики Айзеком Азимовым, потому что я в своём вопросе дала именно его пояснения, убрав всего лишь названия фигур.  

Я эту книгу купила для своего сына, чтобы он понимал математику, а не зубрил. ссылка  

Тише, дамы  

У нас же тут не "женские бои в грязи без правил"

То darky  

Насчет дам: имею несколько другую половую принадлежность.  

To beatify  

Желч, мозги, негодование - на Вашу совесть.  

Может оставить названия фигур было бы не лишним?  

Что-то администрация затягивает процесс...  

P.S.Так получилось, что моему сыну уже поздно покупать для своей дочки такую книгу.