Можно представить себе сверхмикроскопический треугольник, состоящий из одной точки. Три точки также образуют треугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Шесть точек образуют уже больший треугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а десять точек - треугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.

Можно записать треугольные числа в ряд: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 и так далее. Каждое следующее треугольное число образует треугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше.

Ряд треугольных чисел образует определенную зависимость. Первое число равно 1, следующее равно 3, то есть 1 + 2, затем идет 6, то есть 1 + 2 + 3, затем 10, то есть 1 + 2 + 3 + 4, затем 15, то есть 1+ 2 + 3 + 4 + 5, и так далее.

Четыре точки также образуют четырехугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Девять точек образуют уже больший четырехугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а шестнадцать точек - четырехугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.

Можно записать четырехугольные числа в ряд: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Каждое следующее четырехугольное число образует четырехугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше. Начнём с 1. Здесь нет вариантов, единица - это просто единица. Но уже 4 = 1 + 3, далее 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7 и так далее.

Если мы построим несколько пятиугольников таким же образом, как строили треугольники и четырехугольники, то получим числовой ряд вида 1, 5, 12, 22, З5, 51, 70 и так далее. Каждое следующее пентагональное (от греч. pentagonos (мат.) - пятиугольный) число образует пятиугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше.

Это ряд чисел, которые получают сложением чисел, отличающихся друг от друга на три. Первый член ряда - это единица. Второй - 5, то есть 1 + (1 + З) = 1 + 4. Третий - 12, то есть 1 + 4 + (4 + З) = 1 + 4 + 7, четвертый - 22, то есть 1 + 4 + 7 + 10, и так далее.

«Айзек Азимов / В мире чисел. От арифметики до высшей математики. Глава 6. ФОРМА ЧИСЕЛ / Пер. с англ. О.В. Замятиной. – М.: ЗАО Центрполиграф, 2004.»

P.S. Ай-я-яй, товарищ banzay, Ваша группировка 24-02-2005 ответила на подобный вопрос верно и почти в полном составе http://intellvic.spb.ru/?a=stat&c=vic&p=9 (24-02-2005 87 beatify)

Как построить треугольник, на каждой стороне которого по 4 точки, так, чтобы всего точек было 10, а не 9?  

Как построить четырехугольник, на каждой стороне которого по 3 точки, так, чтобы всего точек было 9, а не 8?  

Нарисуйте, пожалуйста.

треугольник:  

т т т т  

_т_т_т  

__т_т  

___т  

4угольник:  

ттт  

ттт  

ттт  

Эти фигуры "заполняются" точками.

еще раз треугольник:  

т_т_т_т  

_т_т_т  

__т_т  

___т

Точка внутри зачем? Она же не на стороне фигуры лежит.

Но фигура строится из точек, без применения линий (отрезков), поэтому внутри тоже есть. Это бесконечно малые фигуры, как я понимаю, хотя Азимова не читал.

Нет, речь в вопросе именно о том, что точки должны лежать на сторонах. Все еще жду обоснования. Ибо не понимаю.

Странно, но я в вопросе не увидел, что все точки обязаны лежать на сторонах. Нет там такого.

Хм, вопрос: "Сверхмикроскопическую плоскую геометрическую фигуру, можно представить в виде одной точки. Три точки образуют ту же фигуру, у которой по две точки на каждой стороне. Четыре точки также образуют геометрическую фигуру, у которой тоже по две точки на каждой стороне. Шесть и девять точек образуют уже большие фигуры, у которых по три точки на каждой стороне. Какую плоскую геометрическую фигуру образуют 70 точек и сколько точек у неё на каждой стороне?"  

Слова "на каждой стороне" повторяются 4 раза.

Ну и пускай себе повторяются В вопросе ведь не сказано, что фигуры полые  

Да и потом, как я понял из вопроса, каждая последующая фигура строится из предыдущей путем добавления нескольких точек. Старые точки остаются на месте.

Приведенный вопрос взят буквально из Азимова или он сформулирован автором (beatify) по "мотивам"? Поясню свой вопрос.  

Если первое предложение являет собой предположительную конструкцию (фигуру) - треугольник, то второе дает треугольник как данность, не предполагающую другой вариант расположения точек. Я не согласен с тем, что "можно представить" из первого предложения автоматически переносится на последующие предложения (в смысле "из трех точек МОЖНО ОБРАЗОВАТЬ ту же фигуру"). В тексте - "образуют", что является не однозначным.

Сорри, "неоднозначным" в смысле три точки не обязательно есть треугольник (ну я видимо уже повторяюсь).

Согласен с Ингой.  

Было бы логичным считать только те точки, что находяться на сторонах большей фигуры, ибо на стороне меньшей фигуры внутри большей их, естессно, меньше (если сторону меньшей фигуры вообще стороной считаем). А если сторона меньшей фигуры внутри большей стороной не считается, то почему считаются точки на ней ?