Все, кина не будет, электричество закончилось?

Может кто-нибудь пытался решить...  

Мой вариант доказатальства:  

Обозначим сосуды А, Б и В. Пусть объемы соотносятся А<Б<В. Если будет равенство хотя бы пары сосудов, то перелив из одного в другой решаем задачу. То же относится и к равенству на любом этапе переливаний.  

Доказательство основано на алгоритме переливаний, приводящего к получению в сосуде Б объема, меньшего, чем в А. Представим Б=к*А+n. Коэффициент "к" представим как сумму степеней двойки, например, 11=2^0+2^1+2^3. Еще нагляднее, если представить его в двоичной системе 11=1011. Будем переливать в сосуд А из Б там, где единица в двоичном числе (есть степень двойки), или из В в другом случае. Начинать надо от младших степеней к большим (в двоичном представлении справа налево). Для примера с 11-ю: переливаем два раза из Б, один раз из В и один опять из Б. В результате в Б остается объем "n"<А. Хватит-ли жидкости для переливания? Из Б переливаем не больше исходного объема (ровно столько - решение), а из В меньше, чем из Б. А так как Б<В, то хватит. Повторяя алгоритм многократно объем в Б стремится к 0 и, в конце концов, станет таковым.  

Непонятно почему, видать "по техническим причинам", из поста с условием задачи пропала фраза "Приз первому решившему задачу - 10 000 рублей". Но, т.к. никто не подал голос, приз "уходит автору вопроса".  

В качестве развлекаловки, еще одна простенькая ситуация. Перед вами три наперстка (наперсточников не забыли?). Под одним из них (точно!) лежит шарик.  

Вам предлагают угадать, под каким. Вы делаете выбор, указывая на него. После этого, "ведущий" убирает из остальных один, под которым нет шарика (он знает). Вы имеете право изменить свое решение. Ваши действия и почему?

Спасибо, замечательная была задачка про сосуды, жаль что Вы открыли свое доказатнльство... я все же не терял надежды найти какой-то свой путь. Теперь вряд ли и захочется искать :  

Вторая задача, к сожалению, решается элементарнымперебором всех вариантов. Пусть 1,2,3 - номера наперстков, + - значит там шарик, * - значит я выбрал данный наперсток, исчезание номера - значит наперсточник убрал жанный наперсток.  

1+,2,3 -> 1+*,2,3 -> 1+*,2 (лучше не менять решение)  

...... -> ...... -> 1+*,3 (лучше не менять решение)  

...... -> 1+,2*,3 -> 1+,2* (лучше сменить решение)  

...... -> 1+,2,3* -> 1+,3* (лучше сменить решение)  

1,2+,3 -> 1*,2+,3 -> 1*,2+ (лучше сменить решение)  

...... -> 1,2+*,3 -> 1,2+* (лучше не менять решение)  

...... -> ...... -> 2+*,3 (лучше не менять решение)  

...... -> 1,2+,3* -> 2+,3* (лучше сменить решение)  

1,2,3+ -> 1*,2,3+ -> 1*,3+ (лучше сменить решение)  

...... -> 1,2*,3+ -> 2*,3+ (лучше сменить решение)  

...... -> 1,2,3+* -> 1,3+* (лучше не менять решение)  

...... -> ...... -> 2,3+* (лучше не менять решение)  

Как видим, в половине случаев лучшая стратегия - сменить первоначальное решение, а в половине - лучше не менять. Т.е. обе стратегии равноценны. Т.е. не имеет значения - сменим мы свое первоначальное решение, или нет - вероятность выиграть от этого не изменится.  

Так, выше я написал неправду. Я посчитал, что все 12 исходов - равновероятны. А это не так. Сейчас я в квадратных скобках расставлю вероятности исходов:  

 
1+,2,3[1/3] -> 1+*,2,3[1/9] -> 1+*,2[1/18](лучше не менять решение)  
 
......      -> ......       -> 1+*,3[1/18](лучше не менять решение)  
 
......      -> 1+,2*,3[1/9] -> 1+,2*[1/9] (лучше сменить решение)  
 
......      -> 1+,2,3*[1/9] -> 1+,3*[1/9] (лучше сменить решение)  
 
1,2+,3[1/3] -> 1*,2+,3[1/9] -> 1*,2+[1/9] (лучше сменить решение)  
 
......      -> 1,2+*,3[1/9] -> 1,2+*[1/18](лучше не менять решение)  
 
......      -> ......       -> 2+*,3[1/18](лучше не менять решение)  
 
......      -> 1,2+,3*[1/9] -> 2+,3*[1/9] (лучше сменить решение)  
 
1,2,3+[1/3] -> 1*,2,3+[1/9] -> 1*,3+[1/9] (лучше сменить решение)  
 
......      -> 1,2*,3+[1/9] -> 2*,3+[1/9] (лучше сменить решение)  
 
......      -> 1,2,3+*[1/9] -> 1,3+*[1/18](лучше не менять решение)  
 
......      -> ......       -> 2,3+*[1/18](лучше не менять решение)  
 

Итак, суммарная вероятность тех исходов, для которых стоит не менять первоначальное решение = 6*1/18 = 1/3. Суммарная вероятность тех исходов, для которых стоит поменять свое решение = 6*1/9 = 2/3.  

Вывод: следует поменять свое первоначальное решение.

Ну вот, даже такой продвинутый математик сначала споткнулся...  

То, что показал решение про переливания - уж почти месяц прошел, посчитал достаточным сроком для того, кто заинтересовался. Хотя сам я решал (не непрерывно, естественно) поболе, чем месяц.  

О шарике. Верно. Сначала вероятность 1/3 угадать, т.к. вариантов (равновероятных) три: 100, 010, 001 (1-шарик). Допустим выбор пал на 1 наперсток. Убирается пустой (один 0 со второй или третьей позиции), остаются опять три варианта, но такие: 10, 01, 01. Вероятность угадать под первым наперстком по-прежнему 1/3, под вторым "слегка" выше, а именно в два раза - 2/3. Срочно менять выбор.

Честно говоря, неправда это. Ситуация вероятностей не меняется после того, как убран пустой наперсток - с равной вероятностью шарик может быть под любым из оставшихся наперстков. Посему вероятность угадать становится 1/2 для любого наперстка...  

Если в любой день может пойти дождь с вероятностью 1/2, это не значит, что завтра дождь пойдет с вероятностью >1/2, если сегодня солнечный день...

vladb: "Если в любой день может пойти дождь с вероятностью 1/2, это не значит, что завтра дождь пойдет с вероятностью >1/2, если сегодня солнечный день..."  

В том-то и изюминка задачи, что "Бог" в данной задаче, т.е. наперсточник, выбирает - быть завтра дождю или нет не независимо, как в Вашем примере, а в зависимости от погоды сегодня.  

Доказательство приведено в посте 12736.  

Попытаюсь еще объяснить "на пальцах", если объяснения ув. piters'а в 12738 недостаточно:  

Если игрок изначально угадал и показал на наперсток с шариком - то у наперсточника действительно есть выбор - он может по своему желанию перевернуть любой из двух оставшихся наперстков. Но если игрок изначально показал на неправильный наперсток - то у наперсточника нет иного выбора, как перевернуть второй пустой. Т.е. в этом случае под неперевернутым наперстком есть шарик. Т.о. - если изначально игрок угадал наперсток, то ему, естественно, не стоит менять свое решение. Если же он изначально ошибся - то поменяв решение он выиграет. В случае с тремя наперстками вероятность изначально ошибиться = 2/3. Вот поэтому лучшая стратегия - изменить свое решение.

Данная задача кардинально отличается от задачи Мартина Гарднера:  

(Внимание! по этой ссылке заходите с осторожностью, сайт заражен вирусом!)  

хттп://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch4/07.html  

так что лучше скачать книгу здесь:  

ссылка  

и найти там задачу про три скорлупки в 4-ой главе (Вероятность)  

Отличается тем, что в задаче ув. piters'а у игрока после переворачивания скорлупки есть выбор. В задаче ув. Гарднера у игрока после переворачивания нет выбора - поэтому там, действительно, вероятность выигрыша и не меняется.  

Мне почему-то показалось, что Вас смутила похожесть этих двух задач...  

Они разные.

1. В данном случае выбор "поменять - не поменять решение" не отличается от выбора "под каким из двух находится шарик". Т.е. исходным и граничным условием становится выбор одного из двух наперстков, под которыми равновероятно может быть шарик, независимо от ранее происшедшего.  

2. Предположим, на тех же условиях, что наперстков было n>>3 и убирается n-2 пустых наперстков. Тогда, по вашей логике, при достаточно большом n мы "автоматом" загоняем шарик под тот наперсток, на который не показали, ведь вероятность его обнаружения там будет близка к единице. Но это абсурд...

В данной задаче присутствует логическая ловушка. После того как один напёрсток убрали, создаётся впечатление что выбор нужно делать 50/50. Но можно изменить формулировку оставив неизменными условия.  

После того как один напёрсток выбран, его накрывают ведром. Аналогичным ведром накрывают и два оставшихся напёрстка. И предлогают повторить выбор. Вроде снова выбирать нужно из двух (50/50). Но мы то знаем что под одним из вёдер шансы 1/3 а под другим - 2/3.

Опять неверно. Если наперсток убрали, то мы знаем, что под ним шарика нет. Если только накрыли ведром, вопрос о наличии шарика под этим наперстком остается без ответа. Разные в корне ситуации...

>>Если наперсток убрали, то мы знаем, что под ним шарика нет...  

Шарик только один. И в том и в другом случае как минимум под одним из двух напёрстков пусто. И убрали или нет пустой напёрсток - ничего не меняет.

Нет. Если играющий не будет знать, убрали наперсток с шариком или без, для него ничего абсолютно не изменится, и вероятность нахождения шарика под любым наперстком останется равной 1/3, ибо для него шарик находится в убранном или в одном из оставшихся наперстков равновероятно. Если играющий будет знать, что убрали пустой наперсток, вероятность обнаружить шарик под любым из оставшихся 1/2. Если играющий будет знать, что убрали наперсток c шариком, вероятность обнаружить шарик под любым из оставшихся для него 0. Если, конечно, ведущий не "мухлюет".